TENTAMEN I MATEMATIK LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA TENTAMENSSKRIVNING MATEMATIK FMAA50 ANALYS 1 Helsingborg 2025-01-17 kl. 14.00-19.00 Hjälpmedel: FORMELBLAD. Lösningar ska vara försedda med ordentliga motiveringar. Alla svar ska förenklas maximalt. 1. Beräkna följande gränsvärden a) 2 22 7lim ( 2)x x x x    (0.2) b) 2 sinlim 2x x x  (0.2) c) 3 60 1lim 1 x xx e e   (0.3) d) 2lim 2 7 4 x x x 

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Analys_1/Tentor/Analys1Tenta_250117.pdf - 2025-03-13

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA LÖSNINGSFÖRSLAG MATEMATIK FMAA50 – Analys 2 2023-04-17 kl. 14.00–19.00 1. Svar: a) 1 8 b) ln 5 2 c) 2− √ 2 d) − ln 3 Lösningsförslag: a) ∫ 2 1 ( 1 x2 − 1 x3 ) dx = [ −1 x + 1 2x2 ]2 1 = −1 2 + 1 8 + 1− 1 2 = 1 8 b) ∫ 3 −1 x x2 + 1 dx = 1 2 ∫ 3 −1 2x x2 + 1 dx = 1 2 [ ln ( x2 + 1 )]3 −1 = 1 2 ( ln 10− ln 2 ) = ln 5 2 c) Variabelsubstitutionen t = cosx ger att∫ π 3 0 sin

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Analys_2/Loesningar/Tentamen_Analys_2_230417_sol.pdf - 2025-03-13

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA LÖSNINGSFÖRSLAG MATEMATIK FMAA50 – Analys 2 2024-03-11 kl. 8.00–13.00 1. Svar: a) 1 3 b) π − 2 8 c) ln 3 Lösningsförslag: a) ∫ 1/4 1/9 1√ x dx = [ 2 √ x ]1/4 1/9 = 2 · 1 2 − 2 · 1 3 = 1 3 b) ∫ π/4 0 sin2 x dx = ∫ π/4 0 1− cos(2x) 2 dx = [ x 2 − sin(2x) 4 ]π/4 0 = π 8 − 1 4 = π − 2 8 c) Andragradspolynomet i integrandens nämnare har nollställena −1 respektive −3, och

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Analys_2/Loesningar/Tentamen_Analys_2_240311_sol.pdf - 2025-03-13

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA TENTAMENSSKRIVNING MATEMATIK FMAA50 – Analys 2 2023-03-17 kl. 8.00–13.00 Hjälpmedel: formelblad Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar och svaren ska förenklas max- imalt. 1. Beräkna a) ∫ 1 0 xex dx, (0.3) b) ∫ 3 0 x√ x+ 1 dx, (0.3) c) ∫ 8 3 4 (x− 2)(x+ 2) dx. (0.4) 2. Lös begynnelsevärdesproblemen a) y′′ − 3y′ − 4y = 4, y(0) = y′(0) = 2, (0.6) b)

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Analys_2/Tentor/Tentamen_Analys_2_230317.pdf - 2025-03-13

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA TENTAMENSSKRIVNING MATEMATIK FMAA50 – Analys 2 2023-08-14 kl. 14.00–19.00 Hjälpmedel: formelblad Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar och svaren ska förenklas max- imalt. 1. Beräkna a) ∫ 8 1 1 x2/3 dx, (0.2) b) ∫ π/3 0 1 cos2 x dx, (0.2) c) ∫ π/3 0 x sinx dx, (0.3) d) ∫ 1 −1 ex 1 + ex dx. (0.3) 2. Lös begynnelsevärdesproblemen a) y′ + 2xy = 4xex

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Analys_2/Tentor/Tentamen_Analys_2_230814.pdf - 2025-03-13

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA TENTAMENSSKRIVNING MATEMATIK FMAA50 – Analys 2 2024-04-08 kl. 14.00–19.00 Hjälpmedel: formelblad Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar och svaren ska förenklas max- imalt. 1. Beräkna a) ∫ π/2 π/3 cos(3x) dx, (0.2) b) ∫ 6 2 1 x3 dx, (0.2) c) ∫ 5 −1 x+ 3 x+ 2 dx, (0.3) d) ∫ ∞ 2 xe−x2 dx. (0.3) 2. Lös begynnelsevärdesproblemen a) ( x2 + 1 ) yy′ = x,

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Analys_2/Tentor/Tentamen_Analys_2_240408.pdf - 2025-03-13

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA TENTAMENSSKRIVNING MATEMATIK FMAA50 – Analys 2 2024-08-19 kl. 14.00–19.00 Hjälpmedel: formelblad Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar och svaren ska förenklas max- imalt. 1. Beräkna a) ∫ 5 0 x √ x dx, (0.2) b) ∫ 4 −1 3x− 8 (x+ 2)(x− 5) dx, (0.4) c) ∫ π 0 sinx 1 + cos2 x dx. (0.4) 2. Lös begynnelsevärdesproblemen a) x2y′ + xy = 1, x > 0, y(1) = 1

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Analys_2/Tentor/Tentamen_Analys_2_240819.pdf - 2025-03-13

TRIGONOMETRISKA FORMLER 1cossin.1 22 =+ xx yxyxyx sincoscossin)sin(.2 ⋅+⋅=+ yxyxyx sincoscossin)sin(.3 ⋅−⋅=− yxyxyx sinsincoscos)cos(.4 ⋅−⋅=+ yxyxyx sinsincoscos)cos(.5 ⋅+⋅=− xxx cossin22sin.6 ⋅=      − − − = 1cos2 sin21 sincos 2cos.7 2 2 22 x x xx x 2 2cos1sin.8 2 xx − = 2 2cos1cos.9 2 xx + =       −= xx 2 cossin.10 π       −= xx 2 sincos.11 π

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Formelblad/Algebra_och_Analys1/TRIGFORMLER.pdf - 2025-03-13

Maclaurinutvecklingar av några elementära funktioner I nedanstående utvecklingar har vi tagit med fyra termer plus en restterm av typen )(tBt n där )(tB är begränsad i en omgivning av noll. )( !3!2 1 4 32 tBttttet ++++= )( 432 )1ln( 5 432 tBtttttt +−+−=+ )( !3 )2)(1( !2 )1(1)1( 432 tBttttt + −− + − +⋅+=+ ααααααα )( !7!5!3 sin 9 753 tBtttttt +−+−= )( !6!4!2 1cos 8 642 tBttttt +−+−= )( 753 arctan 9

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Formelblad/Analys_2/Formelsamling_analys_2__Trig_Maclaurin.pdf - 2025-03-13

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK Helsingborg LÖSNINGAR Linjär algebra, FMAA55 2023-06-02 1. a) Skärningen finns genom lösning av ekvationssystemet0 + t1 = 1 + 2t2 1− t1 = −1− t2 3− 2t1 = −1− 2t2 ⇐⇒  t1 − 2t2 = 1 − t1 + t2 = −2 −2t1 + 2t2 = −4 ←− 1 ←−−− 2  t1 − 2t2 = 1 − t2 = −1 − 2t2 = −2 ←− −2 ⇐⇒  t1 − 2t2 = 1 − t2 = −1 0 = 0 ⇐⇒ { t1 = 3 t2 = 1 Insättning av t1 = 3 i ℓ1:s ekvation (e

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Linjaer_algebra/Loesningar/Solution_Linjaer_Algebra_FMAA55_2023_06_02.pdf - 2025-03-13

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK Helsingborg LÖSNINGAR Linjär algebra, FMAA55 2023-08-22 1. Matrisen A saknar invers då den inte är kvadratisk. Matrisen B har en invers då detB = ∣∣∣∣ 0 √ 3 −1 1/2023 ∣∣∣∣ = 0 · 1 2023 − √ 3 · (−1) = √ 3 ̸= 0. Matrisen C saknar invers då detC = ∣∣∣∣∣∣ 1 1 2 2 −3 1 4 −1 5 ∣∣∣∣∣∣ = 1 · (−3) · 5 + 1 · 1 · 4 + 2 · 2 · (−1)− 1 · 1 · (−1)− 1 · 2 · 5− 2 · (−3) · 4 = −15

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Linjaer_algebra/Loesningar/Solution_Linjaer_Algebra_FMAA55_2023_08_22.pdf - 2025-03-13

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK Helsingborg LÖSNINGAR Linjär algebra, FMAA55 2024-04-10 1. a) Vinkel vid hörnet Q är ∠PQR = [−→ QP, −→ QR ] . Beräkning ger −→ QP = (−2− 0, 0− 1, 0− 1) = (−2,−1,−1) och −→ QR = (1− 0, 2− 1, 1− 1) = (1, 1, 0). Alltså gäller cos ([−→ QP, −→ QR ]) = −→ QP · −→ QR∥∥∥−→QP ∥∥∥∥∥∥−→QR ∥∥∥ = (−2,−1,−1) · (1, 1, 0) ∥(−2,−1,−1)∥∥(1, 1, 0)∥ = −2− 1 + 0√ 6 · √ 2 = −3√ 2 · √ 3

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Linjaer_algebra/Loesningar/Solution_Linjaer_Algebra_FMAA55_2024_04_10.pdf - 2025-03-13

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK Helsingborg LÖSNINGAR Linjär algebra, FMAA55 2024-05-31 1. a) Ekvationerna för linjerna på parameterform är ℓ1 : (x, y, z) = (3t, t, 4t) och ℓ2 : (x, y, z) = (2− 4t, 5+ 3t, 7− t) respektive. Skärningen bestäms av ekvationssystemet3t = 2− 4s t = 5 + 3s 4t = 7− s ⇐⇒ 3t +4s = 2 t −3s = 5 4t + s = 7 ←− ←− ⇐⇒  t −3s = 5 3t +4s = 2 4t + s = 7 ←− −3 ←−−−− −4 ⇐⇒

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Linjaer_algebra/Loesningar/Solution_Linjaer_Algebra_FMAA55_2024_05_31.pdf - 2025-03-13

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK Helsingborg LÖSNINGAR Linjär algebra, FMAA55 2024-08-27 1. a) Skärningen bestäms av ekvationssystemet 1 + t = 1 + 2s 2− t = 5 + s −3− 2t = −1− 2s ⇐⇒  t −2s = 0 −t −s = 3 −2t +2s = 2 ←− 1 ←−−− 2 ⇐⇒  t −2s = 0 −3s = 3 −2s = 2 ←− − 2 3 ⇐⇒  t −2s = 0 −3s = 3 0 = 0 Vi har alltså s = 3 −3 = −1 och t = 2s = 2 · (−1) = −2. Insättning av t = −2 i ℓ1:s ekvation

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Linjaer_algebra/Loesningar/Solution_Linjaer_Algebra_FMAA55_2024_08_27.pdf - 2025-03-13

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK Helsingborg TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA, FMAA55 2023-04-19 kl 14.00-19.00 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar och svaren förenklas maximalt. Alla baser och koordinatsystem får antas vara ortonormerade och positivt orienterade, om inte annat anges. 1. a) Skär linjen ℓ : (x, y, z) = (1, 8, 0) + t(1,−2, 3) och planet π :

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Linjaer_algebra/Tentor/Tentamen___Linj_r_Algebra_FMAA55_2023_04_19.pdf - 2025-03-13

1 / @ .ki ,J E f (x) = \\,\"~) -c(v) = n-<➔-~ + (-11)-i = ri.( '~) = - ~ ft>vv~---W \-w-$\. ,J.d Saks\M 1 I-\-:.\ o-u b· '1-.-.- _ i " - l 1 b- tp ( +~e-l- 1) ~ -:. O,O'L1 '3:J- l X:: '3Sn WG r(x') - -:::. 'b1- ~ X=- -\1 _ (1,~ - ob) = - V\~ 1)1- e - +="~. 1/\.~-t ucl s.o.lsW.) IA"-l oo ?~ + 1' /Ju - %-=- - 2...1 k.r A. r., f'-A.-( ~ A_ (b 'P { 5ltJ4 \ \~tJ. tro, 'kJ ~e,,l) -- ?( ~\._\,(). r'\ \~

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Matematisk_statistik/Loesningar/fmsf30_32_230825_lsg.pdf - 2025-03-13

Matematisk statistik Tentamen: 2024–08–30 kl 800–1300 Matematikcentrum FMSF30 & FMSF32 Lunds universitet Matematisk statistik Lösningsförslag 1. Notering: Denna uppgift liknar Vännman uppgift 2.29, där definitionen av oberoende skall användas. Vi betecknar utfallet med a prickar p̊a första tärningen och b p̊a den andra som (a, b). Vi f̊ar d̊a Ω =  (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1,

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Matematisk_statistik/Loesningar/fmsf30_32_241029_lsg.pdf - 2025-03-13

Matematisk statistik Tentamen: 2023–10–27 kl 800–1300 Matematikcentrum FMSF30 & FMSF32 Lunds universitet Matematisk statistik • Hjälpmedel: Miniräknare och utdelad formelsamling • Lösningar ska vara försedda med ordentliga motiveringar och svaren förenklas maximalt • Skriv anonymkod (eller namn om du saknar kod) p̊a varje papper • P̊a omslaget m̊aste du skriva med bläck • Skriv endast p̊a en

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Matematisk_statistik/Tentor/fmsf30_32_231027.pdf - 2025-03-13

Matematisk statistik Tentamen: 2024–04–03 kl 800–1300 Matematikcentrum FMSF30 & FMSF32 Lunds universitet Matematisk statistik • Hjälpmedel: Miniräknare och utdelad formelsamling • Lösningar ska vara försedda med ordentliga motiveringar och svaren förenklas maximalt • Skriv anonymkod (eller namn om du saknar kod) p̊a varje papper • P̊a omslaget m̊aste du skriva med bläck • Skriv endast p̊a en

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Matematisk_statistik/Tentor/fmsf30_32_240403.pdf - 2025-03-13

Matematisk statistik Tentamen: 2024–08–30 kl 800–1300 Matematikcentrum FMSF30 & FMSF32 Lunds universitet Matematisk statistik • Till̊atna hjälpmedel: Miniräknare samt utdelad formelsamling (häftad med tentamen). • Tentamen best̊ar av 6 uppgifter om 1.0 poäng vardera, med delpoäng om minst 0.1 poäng. • Betygsgränser: Betyg 3 (godkänt): 3.0 poäng. Betyg 4: 4.0 poäng. Betyg 5: 5.0 poäng. •

https://www.maths.lu.se/fileadmin/matematik_lth_hbg/Matematisk_statistik/Tentor/fmsf30_32_240830.pdf - 2025-03-13