Kursen behandlar: Konvergens av följder av analytiska funktioner. Lokalt likformig konvergens, normala familjer, Montels sats. Fördjupning om konforma avbildningar. Riemannsfären, stereografisk projektion, Möbiustransformer, diskautomorfier, Schwarz lemma, Riemanns avbildningssats. Hela funktioner. Oändliga produkter, faktorisering, ordning, genus.  Fouriertransformer och The course treats: Convergence of sequences of analytic functions. Locally uniform convergence, normal families, Montel’s theorem. In-depth study of conformal mappings. Riemann sphere, stereographic projection, Möbius transformations, disk automorphisms, Schwarz lemma, Riemann mapping theorem. Entire functions. Infinite products, factorization, order, genus. Fourier transfo

 Kursen behandlar kurvors och ytors geometri, företrädesvis i tre dimensioner. Speciellt studeras begrepp som krökning och torsion. Kursen behandlar: Geometrin hos kurvor i euklidiska rum, deras krökning och torsion och hur dessa bestämmer kurvorna. Geometrin hos ytor i euklidiska rum, deras första och andra fundamentalform, Gaussavbildningen, principalkrökningar, Gausskrökning och medeThe course treats the geometry of curves and surfaces, especially in three dimensions. In particular, we study the concepts of curvature and torsion. The course covers: The geometry of curves in Euclidean space, their curvature and torsion and how these determine the curves. The geometry of surfaces in Euclidean space, their first and second fundamental forms, the Gauss map, principal curvat

Kursen behandlar: Ändligt genererade grupper: fria grupper, Nielsen-Schreiers teorem, gruppresentationer, ändligt presenterade grupper. Fria produkter: fria produkter med amalgamation, HNN-extensioner. Lösbara grupper: polycykliska grupper, nilpotenta grupper. Undergrupper: undergrupper med ändlig index, virtuella egenskaper, maximala undergrupper. Residuellt ändliga grupper: Hopfiska gruppeThe course treats: Finitely generated groups: free groups, Nielsen-Schreier Theorem, group presentations, finitely presented groups. Free products: free products with amalgamation, HNN extensions. Solvable groups: polycyclic groups, nilpotent groups. Subgroups: finite-index subgroups, virtual properties, maximal subgroups. Residually finite groups: Hopfian groups, Malcev's Theorem, Baumslag-

Kursen behandlar: metriska och topologiska rum med exempel, produkttopologier, kontinuitet, sammanhängande topologiska rum, fullständighet och kompakthet, inklusive Arzela-Ascolis sats, exempel på tillämpningar och topologiska strukturer, exempel på metriska och topologiska rum med relevans för andra områden, såsom normerade rum och Hilbertrum.The course treats: topological spaces and metric spaces with examples, product topologies, continuity of functions, connectedness, completeness, and compactness, including the Arzela-Ascoli Theorem, examples of applications and topological structures, examples of metric and topological spaces relevant in other areas of mathematics, such as normed spaces and Hilbert spaces.

Kursen behandlar: randvärdesproblem; Sturm-Liouville-teori och egenfunktionsutvecklingar; autonoma system; fasporträtt; stabilitetsteori; periodiska lösningar; kaos.The course treats: boundary value problems; Sturm-Liouville theory and eigenfunction expansions; autonomous systems; phase portraits; stability theory; periodic solutions; chaos.

Kursen behandlar: Fourierserier, Fouriertransformen och den ändliga Fouriertransformen, L^2-konvergens av Fourierserier, punktvis konvergens, Cesàro-medelvärden och Fejers sats, Weyls kriterium, Fouriers inversionssats, Parsevals och Plancherels satser, Poissons summationformel och Heisenbergs olikhet, exempel på tillämpningar inom fysik och inom andra områden inom matematiken, såsom dynamiska sysThe course treats: Fourier series, Fourier transform and finite Fourier transform, L^2 convergence of Fourier series, pointwise convergence, Cesàro means and Fejer’s theorem, Weyl’s criterion, the Fourier inversion theorem, Parseval’s and Plancherel’s theorem, Poisson summation formula, and the Heisenberg inequality, examples of applications in physics and in other areas of mathematics, such as dy

Kursens behandlar mått definierade på en sigma-algebra, konstruktion av mått med hjälp av yttre mått, i synnerhet Lebesgue-måttet på Rd. Dessa begrepp används sedan för att definiera integralen av en mätbar funktion med avseende på ett visst mått och studera dess egenskaper. Fokus ligger på konvergensteorem, det vill säga omkastning av gränsvärdesövergång och integration, samt upprepad integrationThis course treats the general notion of a measure defined on a sigma-algebra, construction of measures with help of outer measures, in particular the Lebesgue measure in Rd. These concepts are then used to define the integral of a measurable function with respect to a given measure and study its properties. The focus is on convergence theorems, that is, interchanging limits and integrals, as well

Kursen behandlar: Lineära system av ordinära differentialekvationer i det komplexa planet. Potensserielösningar. Singulära punkter. Frobenius metod. Några klassiska differentialekvationer och speciella funktioner. Randvärdesproblem. Egenfunktionsutvecklingar. Spektralsatsen. Sturm-Liouville-teori. The course treats: Linear systems of ordinary differential equations in the complex plane. Power series solutions. Singular points. Frobenius method. Some classical differential equations and special functions. Boundary value problems. Eigenfunction expansions. Spectral theorem. Sturm-Liouville theory.

Kursen behandlar Differentierbara mångfalder, deras tangentrum och tangentknippen. Riemannska metriker och deras unika Levi-Civita-förbindelse. Geodeter och den viktiga Riemannska krökningsten sorn samt dess betydelse för den lokala geometrin. The course covers: Differentiable manifolds, their tangent spaces and tangent bundles. Riemannian metrics and their unique Levi-Civita connection. Geodesics and the important Riemann curvature tensor and its influence on the local geometry.

Kursen behandlar: • homotopiteori, fundamentalgruppen, övertäckningsrum • Brouwer's fixpunktssats, Borsuk-Ulams sats • deformationsretraktion, fundamentalgrupper och ytors homologi • mångfalders kirurgi, också kallad "klippa och klistra" • konstruktion och klassificering av kompakta ytor.The course treats: • homotopy theory, the fundamental group, covering spaces • the Brouwer fixed point theorem, the Borsuk-Ulam theorem • deformation retracts, fundamental groups and homology of surfaces • surgery of manifolds, also called "cutting and pasting" • the construction and classification of compact surfaces.

Kursen behandlar: Grupprepresentationer: linjära representationer, ekvivalenta representationer, regulära representationer, inducerade och begränsade representationer, irreducibla representationer, Maschkes sats, dualrepresentationer och tensorprodukt av representationer. Karaktärteori: karaktärer av representationer, inducerade karaktärer, irreducerbara karaktärer, ortogonalitetsrelationer,The course treats: Group representations: linear representations, equivalent representations, regular representation, induced and restricted representations, irreducible representations, Maschke’s Theorem, dual representations and tensor product of representations. Character theory: characters of representations, induced characters, irreducible characters, orthogonality relations, integralit

Kursen behandlar distributionsteorins grunder, testfunktioner, distributionsbegreppet, distributioner med kompakt stöd, operationer på distributioner, faltning, homogena distributioner och Fouriertransformen.The course treats the foundations of distribution theory test functions, the concept of a distribution, distributions with compact support, operations on distributions, convolution, homogeneous distributions and the Fourier transform.

Kursen behandlar: Grupper: Konjugatklasser. Burnsides lemma med tillämpning på Polyaräkning.Sylows satser. Strukturen hos ändligt genererade abelska grupper. Ringar: Noetherska och Artinska ringar och moduler. Artin-Wedderburns sats. Ändligt genererade moduler över en huvudidealring med tillämpning på Jordans normalform. Lineär algebra: Multilineära avbildningar. Tensorproduct The course treats: Groups: Permutation groups. Burnside's lemma with application to Pólya arithmetic. Sylow's theorems. Symmetric and alternating groups. The structure of finitely generated Abelian groups. Rings: Noetherian and Artinian rings and modules. Artin-Wedderburn's theorem. Finitely generated modules over a principal ideal domain with application to the Jordan's normal form of matri

Kursen behandlar grundläggande egenskaper hos Banach- och Hilbertrum och begränsade lineära operatorer definierade på sådana rum: Banachrum, Hahn-Banachs sats, svag konvergens och svag prekompakthet av enhetsklotet. Hilbertrum. Exempel inklusive L2-rum. Ortogonalitet, ortogonalt komplement, slutna underrum, projektionssatsen. Riesz representationsteorem. Ortonormala mängder, Pythagoras satThe course treats fundamental properties of Banach and Hilbert spaces and the bounded linear operators defined on them: Banach spaces, the Hahn-Banach Theorem, weak convergence and  weak precompactness of the unit ball. Hilbert spaces. Examples including L2 spaces. Orthogonality, orthogonal complement, closed subspaces, projection theorem. Riesz Representation Theorem. Orthonormal set

Kursen behandlar: Karakteristikmetoden och icke-linjära ekvationer av första ordningen. Laplaces ekvation. Värmeledningsekvationen. Vågekvationen. Cauchy-Kowalevskis sats. Sobolevrum. Existens, entydighet och regularitet för svaga lösningar till linjära elliptiska,paraboliska och hyperboliska ekvationer av andra ordningen. Maximalprinciper för elliptiska och paraboliska ekvationer. The course treats: The method of characteristics and nonlinear equations of the first order. Laplace’s equation. The heat equation. The wave equation. The Cauchy–Kowalevski theorem. Sobolev spaces. Existence, uniqueness and regularity for weak solutions to linear second order elliptic, parabolic and hyperbolic equations. Maximum principles for elliptic and parabolic equations.

Kursen behandlar grundläggande egenskaper hos mått med tecken och komplexamått: Hahn- och Jordanuppdelning, absolut kontinuitet och Radon-Nikodyms teorem, singularitet, Lebesgue-uppdelning av mått, deriverbarhet av ändliga Borel-mått på R^d, deriverbarhet av absolutkontinuerliga funktioner, Hardy-Littlewoods maximalfunktion och uppskattningar för densamma, Hardy-Littlewoods maximalfunkThe course treats basic properties of signed and complex measures: Hahn and Jordan decomposition, absolute continuity and the Radon-Nikodym theorem, singularity, Lebesgue decomposition of measures, differentiability of finite Borel measures on Rd, differentiability of absolutely continuous functions, the Hardy-Littlewood maximal function and the weak type estimate for it, the Hardy-Lit

Kursen behandlar tillämpningar av: Hahn-Banachs sats, svag konvergens och kompakthet, Riesz representationssats, Ortonormala baser, Integraloperatorers begränsning, kompakthet och spektra, Spektralsatsen för kompakta, självadjungerade operatorer. The course treats applications of the Hahn-Banach theorem, weak convergence and compactness, the Riesz representation theorem, the use of orthonormal bases, boundedness, compactness and spectra of integral operators, the spectral theorem for compact, self-adjoint operators.

Kursen syftar till att ge fördjupade kunskaper i fysiken kring acceleratorer och erfarenhet om beräkningar och modellering av acceleratorsystem. Dessutom syftar kursen till en grundläggande förståelse av frielektronlasern och dess acceleratorsystem.  The aim of the course is to give deepened knowledge in the physics of accelerators and experience in both calculations and modeling of accelerator systems. In addition the course aims at providing a fundamental understanding of the Free Electron Laser and its accelerator systems.